Crescendo Espiritualmente

Qualquer pessoa que tenha um pouco de leitura e bom senso deve no mínimo estar suspeitando que o triângulo aritmético não seja uma descoberta ou invenção de Pascal. Por exemplo: a denominação desse triângulo varia muito ao longo do mundo. Com efeito, se bem que os franceses o chamem de triângulo de Pascal, os chineses o chamam de triângulo de Yang Hui, os italianos o chamam de triângulo de Tartaglia e encontramos outras denominações como triângulo de Tartaglia-Pascal ou simplesmente triângulo aritmético ou triângulo combinatório.

Pelo que temos defendido neste site, essa diversidade de denominaçes não deve ser surpreendente. Com efeito, temos mostrado que para idéias muito simples ou muito úteis - como é o caso da do triângulo aritmético - simplesmente não tem nenhum sentido perguntar “quem foi o primeiro?”. Elas foram redescobertas e introduzidas várias vezes e em todos os locais onde se estudou ou estuda matemática.
Vejamos a comprovação desta tése no caso do triângulo aritmético.

é um quadro de forma triangular onde são dispostos, sucessivamente e de cima para baixo, os coeficientes das expansões de:

(a+b)⁰
(a+b)¹
(a+b)²
(a+b)³
(a+b)⁴
etc, etc

o resultado é um quadro triangular, que se prolonga indefinidamente para baixo e cujas primeiras linhas sao mostradas na figura ao lado.

Como é fácil se perceber, as REGRAS de construção do quadro são:

• lados formados só de 1
• os elementos interiores do quadro são obtidos somando os dois elementos imediatamente acima deles
  ( por exemplo, na quinta linha: 4 = 1+3, 6 = 3+3, 4 = 3+1 )

Embora não seja este o objetivo desta matéria, observemos que são várias as UTILIDADES do triângulo aritmético:

• a principal utilidade, obviamente, é ser um dispositivo mecânico para a fácil geração dos coeficientes de expansôes tipo (a+b) ⁿ, com n inteiro positivo.
  EXEMPLO:
  seja expandir (a+b) ⁵
  Solução:
  os coeficientes estão na sexta linha do triângulo ( a que vem DEPOIS da última linha escrita acima: 1 4 6 4 1 ).
  Usando as regras acima, obtemos como sexta linha:
  1 5 10 10 5 1, de modo que

  (a+b)⁵ = a⁵ + 5 a⁴b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 5 ab⁴ + b⁵

• Extração, possivelmente aproximada, de raízes quadradas, cúbicas, quárticas e etc. Esses procedimentos usavam a expansão do binômio de várias maneiras, uma das mais populares - conhecida há quase 2 000 anos antes de Pascal - usava:

  ( a + b ) ² = a² + 2 a b + b² = a² + b ( 2 a + b)

  ( a + b )³ = a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³ = a³ + b ( 3 a² + 3 a b + b² )

  Vejamos os detalhes, tomando o caso concreto do cálculo de raiz quadrada de N = 51:

  o procedimento buscará escrever a tal raiz quadrada como a + b, de modo que

  N = ( a + b )² = a² + b ( 2a + b )

  A obtenção do valor de a é fácil: basta acharmos um valor a tal que a² seja menor ou igual a N = 51; a seguir obtemos o valor de b como o limite da sequência de aproximações que parte de b₀ = 0 e sucessivamente calcula b₁ , b₂ , etc geradas pela iteração:

  

  No caso de N = 51, tomando a = 7, obtemos:

  n	bn
  0	0
  1	0.142 857 143
  2	0.141 414 141
  3	0.141 428 571
  4	0.141 428 427
  5	0.141 428 429
  6	0.141 428 429

  De modo que a raiz quadrada de 51 vale 7.141 428 429 …, com erro na nona casa decimal.
  No caso de cálculo manual ou ajudado por ábaco, podemos abreviar consideravelmente o trabalho se formos aumentando gradativamente a quantidade de casas com que vamos obtendo as aproximações b _n. Por exemplo, quem não dispõe de calculadora eletrônica, acharia mais rápido refazer o cálculo da maneira mostrada abaixo, que acaba produzindo a mesma resposta:

  n	bn
  0	0
  1	0.1
  2	0.14
  3	0.141
  4	0.141 4
  5	0.141 42
  6	0.141 428
  7	0.141 428 4
  8	0.141 428 42
  9	0.141 428 429

  Um processo absolutamente semelhante se aplica às raízes cúbicas, quárticas, etc; sendo que o denominador das respectivas iterações pode ser mais comodamente achado se usarmos o triângulo aritmético.

• Uma outra utilidade muito importante do triângulo aritmético é na descoberta de identidades envolvendo os coeficientes binomiais ( ou seja, os coeficientes das expansoes (a+b) ⁿ ):

Vejamos um exemplo bem simples de tais identidades:
observe que, no triângulo aritmético, se “descermos” ao longo de uma diagonal de direção \, a soma dos elementos “percorridos” na diagonal tem como valor o elemento, da linha imediatamente abaixo, ao qual chegamos ao “descer” do ponto de parada depois de mudar a direção de caminho.

Vejamos um exemplo concreto: na figura ao lado, o valor da soma 1 + 2 + 3 coincide com o valor do segundo elemento 6 da linha imediatamente abaixo do último elemento somado.
Verifique essas coincidências para outros caminhos diagonais e/ou outros pontos de parada. Com efeito, para quem tem noções de Análise Combinatória, é fácil mostrar a veracidade dessas igualdades e que as mesmas podem ser resumidas pela seguinte bastante útil fórmula combinatória:

Muitas outras identidades, bem menos óbvias, podem ser retiradas do triângulo aritmético e muitas delas tem grande aplicabilidade na Matemática.

• Conforme descobriu Tartaglia, cerca de cem anos antes de Pascal, o triângulo aritmético também é bastante útil no cálculo de probabilidades. Com efeito, é fácil vermos que os coeficientes das expansões binomiais tem um significado combinatorial e, então, probabilístico.

  Por exemplo:
  - ao jogarmos um par de moedas - temos uma chance em quatro de obtermos duas caras, duas chances em quatro de obtermos uma cara e uma corôa, e uma chance em quatro de obtermos duas corôas; esses valores são os que aparecem na terceira linha do triângulo aritmético. A correspondência se mantém para outras quantidades de moedas, bem como outros problemas de probabilidades discretas que nada tem a ver com moedas ou jogos.

Cerca de 600 AC, com o esgotamente do vedismo na India, difundiram-se duas outras concepçôes religiosas, o budismo e o jainismo, ambas protestantes dos sacrificíos cruentos dos rituais védicos.
A palavra jaina vem de jin, vitorioso em sânscrito, e indica aqueles que obtiveram vitória sobre os desejos mundanos e que tem os sentidos totalmente sob o controle da vontade. Para atingir essa perfeição, os jainas passavam por um longo treinamento, sendo que o estudo da Ganitanuyoga, ou Matemática, era considerado como um dos exercícios mais nobres e eficazes do mesmo.

Entre os vários temas matemáticos estudados pelos jainas estava a Vikalpa, ou Combinatória. A razão maior da grande atenção que deram à Combinatória era sua concepção atomística do mundo físico. Seu átomo, que chamavam de parmanu, era uma partícula indivisível, atemporal, e tal que apenas sua cor, gosto, cheiro e tactibilidade podiam mudar. Com efeito, seus átomos tinham 5 tipos de cor, 8 tipos de tactibilidade, 5 gostos possíveis e 2 cheiros distintos. Boa parte de sua combinatória envolvia problemas de cálculo das combinações das qualidades dos átomos. Como todo corpo vivo ou físico era composto de átomos, com o passar dos anos, também dedicaram-se a calcular combinações das qualidades de praticamente tudo o que existe de material e até mesmo no mundo das idéias e do espírito:

• quantos são os perfumes de três fragrâncias que podemos fazer se tivermos cinco fragrâncias disponíveis?
• quantas são as combinações que podem ser feitas com os seis rasas ( gostos, quais seja: doce, salgado, amargo, adstringente, ácido e azedo ) ?
• quantas são as combinações das três sílabas: ba, be, bi ?
• quantos são os possíveis arranjos de objetos que o deus Sambhu pode segurar em suas dez mãos?
• etc,etc

Os livros indianos eram escritos em folhas de palmeira o que fêz com que poucos deles chegassem aos nossos dias. Para a maioria dos mais antigos livros jainas, temos apenas o nome do livro, raramente o do autor, e poucas informações matemáticas. Ademais, muitos deles não foram escritos em sânscrito. Tudo isso fêz com que ainda sejam muito poucos os estudos sobre a história da matemática jaina.
A tabela abaixo, dá um resumo bem rudimentar, mas significativo, da literatura jaina associada à Combinatória e ao triângulo aritmético:

Embora os dois primeiros livros acima já tragam regras ( sutras ) para o cálculo de combinações e arranjos, é só com Pingala 200 AC - quase 2 000 anos antes de Pascal - que encontramos o triângulo aritmético.
O envolvimento de Pingala com o triângulo resultou de seu estudo de métricas musicais na versificação. Com efeito, ele observou que a expansão de, sucessivamente, métricas de uma, duas, três, etc sílabas podia ser disposta sob a forma de uma padrão numérico triangular que corresponde ao triângulo aritmético e que ele denominou meruprastara, em homenagem ao sagrado Monte Meru.

Para clarificar, usemos um exemplo numérico:
para achar as combinações das três sílabas ba, be, bi ele ia até a quarta linha do meruprastara, 1 3 3 1, e então concluia:

• 3 combinações de uma sílaba: ba, be, bi
• 3 combinações de duas sílabas: babe, babi, bebi
• 1 combinação de três sílabas: babebi

Para construir o triângulo, Pingala descreve a seguinte regra:

Desenhe um quadradinho; abaixo dele desenhe dois outros, de modo que juntem-se no ponto médio da base dele; abaixo desses dois, desenhe outros três e assim por diante. A seguir, escreva 1 no primeiro quadradinho e nos da segunda linha. Na terceira linha escreva 1 nos quadradinhos dos extremos, e no do meio escreva a soma dos numeros acima dele. Prossiga fazendo o mesmo nas demais linhas.Nessas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba; a terceira dá as combinações com duas sílabas e assim por diante.

Muitos séculos depois de Pingala, no livro de Halayudha ainda encontramos o meruprastara e a regra de Pingala.

O uso que os antigos chineses faziam do triângulo aritmético centrava-se no cálculo aproximado de raízes quadradas, cúbicas e etc.
Os chineses não tinham uma álgebra literal e todo seu envolvimento com problemas algébricos era baseado em uma notação e procedimentos apropriados para o emprego de varetas de cálculo ( instrumento que precedeu o conhecido suan pan, o ábaco chinês ). O triângulo aritmético, que denominavam sistema de tabulação para descobrir coeficientes binomiais, encaixava-se perfeitamente bem nesse esquema.

Num dos livros chineses mais antigos, o Jiuzhang Suanshu ( Nove capítulos da Arte Matemática ), escrito cerca de 100 AC, tem seu quarto capítulo dedicado ao ensino de procedimentos de extração de raízes quadradas e cúbicas. Esses procedimentos são baseados nas identidades, que já apontamos antes:

( a + b ) ² = a² + 2 a b + b² = a² + b ( 2 a + b)

( a + b )³ = a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³ = a³ + b ( 3 a² + 3 a b + b² )

Um dos procedimentos de cálculo é exatamente o que descrevemos acima. Por exemplo, ele é aplicado na resolução de vários problemas que tem a seguinte estrutura:

Temos uma área quadrada de 55 225 pu ( quadrados ). Qual é o valor do lado do quadrado?

Se aplicarmos o método que descrevemos na introdução, tomando como a = 200, ficamos com a iteração

b_n+1 = 15 225 / ( 400 + b_n )

que, a partir da clássica semente b₀ = 0, produz as sucessivas aproximações 38, 34, 35, 35, 35, etc, ou seja: o valor exato do lado pedido é: 200 + 35 = 235 pu, como o livro responde.

Bem, como já dissemos, o Nove Capítulos resume-se a tratar apenas de raízes quadradas e cúbicas, e para isso não havia necessidade do triângulo aritmético. O mesmo ocorre com o famoso Liu Hui, em seu Jiuzhang suanshu zhu ( Comentários sobre os “Nove Capítulos da Arte Matemática”, escrito c. 250 dC.

Assim que, apesar desse envolvimento inicial com o binômio de Newton, o documento chinês mais antigo que temos e que traz o triângulo é o Manual de Matemática de Jia Xian, c. 1 050 dC.

O mais famoso matemático chinês associado ao triângulo aritmético foi Yang Hui c. 1 250 dC. Ele escreveu cerca de dez livros, sendo que em ao menos dois desses ( Alfa e ômega de uma seleção de aplicações de métodos aritméticos e o Uma análise detalhada dos métodos do livro “Nove Capítulos” ) ele estuda e aplica o triângulo aritmético.

Também é importante mencionarmos o livro Precioso espelho dos quatro elementos, escrito c. 1 300 dC por Zhu Shijie. Este livro traz figuras de triângulos com até nove linhas e seu autor os denomina diagramas do método antigo para calcular grandes e pequenas potências. Contudo, conforme já observamos acima, a denominação chinesa mais comum para o triângulo aritmético é triângulo de Yang Hui.

CUIDADO :

A figura ao lado está sendo disponibilizada como um alerta. Já a encontramos algumas vezes como ilustração do envolvimento chinês com o triângulo aritmético. Em verdade, o uso dessa gravura é mais um dos inúmeros erros grosseiros que encontramos em escritos de leigos em História da Matemática. Com efeito, uma atenta observação da mesma mostra que não traz ideogramas chineses e sim japoneses; mais do que isso: é simplesmente imperdoável não se notar que os algarismos no seu triângulo não são chineses e sim algarismos do sistema japonês sangi.
Assim que trata-se de uma gravura japonesa de um livro japonês, aliás bastante famoso e escrito cerca de cem anos depois de Blaise Pascal.
Como qualquer aluno do ensino primário sabe, os japoneses copiaram quase tudo o que os chineses fizeram ou descobriram; o mesmo ocorreu com a matemática tradicional japonesa.

NOTA :
Como se já não fosse bastante difícil para um ocidental ler e guardar os nomes chineses, temos mais um outro problema dificultando o estudo da matemática chinêsa: como transliterar os ideogramas dos nomes chineses?

Os nomes chineses que aparecem acima, bem como em qualquer outra matéria deste site, foram transliterados pelo sistema Pinyin, o mesmo sistema que hoje V. encontra em publicações chinesas oficiais, bem como no cinema, jornais, guias turísticos, e outros documentos do mundo real.
Infelizmente, a maioria dos livros de História da Matemática, e a quase totalidade das publicações a que os professores do ensino primário e secundártio tem acesso, continuam usando o sistema de Wade-Giles, que é mais uma arcaica e obsoleta lembrança do colonialismo britânico.

A tabela abaixo procura atenuar a confusão que resulta dessa lamentável situação:

Por outro lado, segundo os grandes especialistas em história da matemática islâmita, Roshdi Rashed e Adel Anbouba, o triângulo teria sido redescoberto em 1 007 pelo matemático al Karaji. Esse matemático teria utilizado o triângulo para obter o desenvolvimento de potências quadrática, cúbica e quártica de binómios em seus tratados de álgebra: o al Fakhri e o al Badi.
Cerca de 1 975, os historiadores russos M. A. Abarova e B. A. Rosenfeld estudaram cuidadosamente essas referências e, parece-nos, concluiram que al-Karaji ensinava a calcular ( a + b ) ⁿ mas não fazia nenhuma menção do triângulo aritmético: sua técnica seria uma mera elaboração dos métodos de álgebra-geométrica que remontam a Euclides e outros gregos clássicos.

O próximo matemático islamita que envolveu-se com o triângulo aritmético foi o muito famoso poeta e matemático persa Umar al-Khayyami c. 1 150 dC. Em seu Tratado de demonstrações de problemas de Álgebra e Almuqabala, ele diz que escrevera um livro - hoje, totalmente perdido - sobre o triângulo aritmético e sua aplicação na extração aproximada de raízes quadradas, cúbicas, etc, seguindo a tradição indiana. É de se insistir que a extração aproximada de raízes continuou a ser por vários séculos, entre os islamitas, o grande uso do triângulo aritmético. Mas deixemos que o grande al-Khayyami nos diga o que fêz:

os indianos tinham métodos para calcular os lados de quadrados e cubos, …… Eu escrevi um livro que prova a correção desses métodos, e mostrei que eles realmente chegam à conclusão desejada. Eu também estendi o método para o caso das raízes quarta, quinta e etc, o que não havia sido feito antes. As demonstrações que dei disso são estritamente aritméticas, baseadas nos ensinamentos dos Elementos de Euclides.

Na época de al Khayyami, viveu em Baghdad um outro matemático islamita que teve grande envlvimento com o triângulo aritmético, trata-se de al Samaw’al. Aos 19 anos de idade esse talentoso matemático escreveu um tratado de álgebra, o al Bahir fi’l jabr ( A deslumbrante Álgebra ) , onde corrigiu e expandiu o trabalho de al Karaji sobre o triângulo e o binômio de Newton; seu livro traz uma ricamente decorada figura de um triângulo aritmético de 12 linhas. Entre os notáveis resultados de al Samaw’al, neste livro, está uma demonstração por indução matemática da validade do binômio de Newton.

Nos séculos seguintes, a matemática islamita espalhou-se pelo Norte da Africa. Os maghrebinos tiveram um enorme interesse em problemas de Combinatória, tendo assim um fértil campo de aplicações para o triângulo. Foi a partir daí que a Combinatória chegou até a Europa Medieval, através de divulgadores viajantes como Fibonacci. Esse, incidentalmente, sofreu grande influência de al Samaw’al.

Um pouco depois dos alemâes, alguns matemáticos italianos redescobriram o triângulo. O principal deles foi Tartaglia o qual lhe dedicou muitas páginas de seu enorme livro General Tratato di numeri et misure, 1 556. Embora, hoje pouco conhecido pelos historiadores, esse livro foi o melhor, mais completo e maior tratado de aritmética até então escrito. Segundo Gino Loria, equivaleria a cerca de 4 000 páginas impressas em tipo moderno.
Após Tartaglia, vários outros italianos dedicaram-se ao tema, como os importantes Cardan e Bombelli.

Entre os franceses que antecederam Pascal, podemos encontrar vários que conheciam o triângulo aritmético. Deles, o que mais divulgou o triângulo foi Peletier, através de sua Arithmétique, livro de enorme sucesso na época e que teve várias edições, a primeira em 1 549. Também devemos mencionar: Girard (1629), Mersenne (1636), etc.

Entre os problemas propostos por de Méré estava o seguinte:

Jogando com um par de dados honestos, quantos lances são necessários para que tenhamos uma chance favorável ( ou seja, de mais de 50% ) de obtermos um duplo-seis, ao menos uma vez?

O interesse de de Méré no problema residia no fato de que sua “solução” para o mesmo não funcionava na prática, produzindo-lhe constantes prejuízos.
Com efeito, ele não conseguia ver o que estava errado em seu raciocínio:

” Quando jogamos apenas um dado, temos chance 1/6 de obter um seis, e como 3 x 1/6 = 50% e 4 x 1/6 = 67%, vemos que precisamos jogá-lo 4 vezes para ter chance maior do que 50% de obtermos, ao menos uma vez, um seis. Ora, quando jogamos um par de dados temos 36 possibilidades, ou seja 6 vezes mais possibilidades de quando jogamos um único dado, consequentemente, precisaremos jogar o par de dados 6 x 4 = 24 vezes para ter chance maior do que 50% de obtermos, ao menos uma vez, um duplo seis”.

Pascal percebeu o erro de de Méré e se dispôs a achar a solução correta. Trocando idéias com o grande matemático Fermat, logo se convenceu que a resolução teria de passar pela enumeração combinatorial das possibilidades de ocorrência do duplo-seis. Procurando uma maneira inteligente de fazer essa trabalhosa enumeração, Pascal redescobriu e aperfeiçou uma interpretação combinatória e probabilística do triângulo aritmético, a mesma que Tartaglia já havia descoberto e estudado.

Dessa maneira, conseguiu mostrar que:

• em 24 lances de um par de dados, a probabilidade de ocorrer, ao menos uma vez, um duplo-seis é de 49.1%
  ( sendo então, ao contrário do que achava de Méré, “desfavorável” ao jogador )
• em 25 lances de um par de dados, a probabilidade de ocorrer, ao menos uma vez, um duplo-seis é de 50.6%
  ( sendo, agora, “favorável” ao jogador )

Pascal não ficou sómente na resolução desse e outros problemas de de Méré. Com efeito, gastou um ano escrevendo uma monografia de cerca de sessenta páginas sobre o triângulo aritmético: Traité du triangle arithmétique, a qual foi publicada só postumamente, em 1 665. Nessa monografia, Pascal introduziu o triângulo de um modo bem complicado e usando uma notação estritamente geométrica - bem ao estilo clássico, anterior a Viète e Descartes - provou algumas identidades envolvendo os coeficientes binomiais e aplicou o triângulo na resolução de pequenos problemas de probabilidades e de combinatória.

Quase cem anos depois, em 1 739, o matemático inglês de Moivre publicou trabalho em que usou a denominação TRIANGULUM ARITHMETICUM PASCALIANUM para o triângulo aritmético. Dada a repercussão que esse trabalho teve na época, isso acabou tornando consagrada a denominação “triângulo de Pascal” na Inglaterra, França e mais alguns países europeus.

David Fowler: The Binomial Coefficient Function,
Amer Math Monthly 103 (1996)1-17.

N. L. Biggs: The roots of combinatorics.
Historia Math. 6(1979), no.2,109-136.

Além de historicamente errada, essa extremamente comum “explicação” para o surgimento dos números complexos é um absurdo. Com efeito, por que alguém iria buscar raízes num campo numérico desconhecido?

Até cerca de 1 650 dC, em respeito à orientação geométrica da matemática grega, as únicas raízes consideradas como legítimas ou verdadeiras eram as que correspondiam à grandezas geométricas ou físicas : podiam ser interpretadas como comprimentos, áreas, volumes, massas, etc. Diríamos hoje: correspondiam a números reais POSITIVOS .

Por exemplo, Bhaskara, que foi um dos indianos que mais perto chegou da idéia da moderna álgebra ( conhecia a regra menos vezes menos dá mais, trabalhava com equações de coeficientes negativos, etc ), reconhecia que a equação

x² - 45 x = 250

era satisfeita por dois valores, x = 5 e x = - 5, mas dizia que não considera-se a segunda pois as pessoas não apreciam raízes negativas .

Resumindo, até o surgimento dos cartesianos, c. 1650, as raízes eram divididas em verdadeiras ( correspondiam aos reais positivos) e falsas ( que correspondiam aos reais negativos e não eram consideradas como legítimas ). As únicas e raras ocorrências de raízes negativas nesse período surgiam em problemas de contabilidade, onde eram interpretadas como dívidas.

Cardano 1545 ao tentar resolver a cúbica x ³ = 4 + 15x , a qual ele sabia ter raiz verdadeira x = 4, constatou que a regra de dal Ferro-Tartaglia produzia a seguinte expressão ( em notação moderna ) :

Deparando-se com o termo - 121 , ele não conseguiu ver como “destravar” o calculo, de modo a fazer a regra chegar ao esperado x = 4.

Foram precisos mais de 25 anos para Bombelli, em 1572, atinar como resolver o impasse . Esse disse ter tido a “idéia louca” de operar com as quantidades da forma a + b -1 sob as mesmas regras que se usa com os números reais, mais a propriedade

( -1 )² = -1

para assim conseguir “destravar” a regra, fazendo-a produzir o desejado x = 4.

O próprio Bombelli não estava bem seguro do que havia criado, chegando mesmo a dizer que eram uma nova espécie de raízes quadradas … que tem regras diversas das outras. Para os demais matemáticos da época, os números complexos eram vistos com suspeita e quanto muito tolerados, na falta de melhor coisa. Até o nome que receberam, números SOFÍSTICOS, espelhava bem a situação.

É de se acrescentar que alguns matemáticos da época procuraram descobrir maneiras de se evitar o uso dos complexos. Entre eles, o que mais procurou evitar as torturas mentais envolvidas com o uso de raízes quadradas de negativos foi Cardano. Em seu difícil livro De Regula Aliza, de 1 570, Cardano procurou inventar artifícios de cálculo que evitassem o uso de raízes quadradas de negativos quando da aplicação das regras de resolução de cúbicas. Conseguiu apenas magros resultados. Foram necessários trezentos anos para que, em 1 890, Capelli conseguisse provar que isso é em geral impossível de conseguir.

Rafael Bombelli gastou 74 páginas de sua L’Algebra para estudar as leis algébricas que regiam o cálculo com as quantidades a + b -1 . Em particular, mostrou que

• as 4 operações aritméticas sobre números complexos produzem numeros desse tipo
• a soma de um real e um imaginário puro não pode se reduzir a um só nome.

Embora Bombelli já tivesse se preocupado em provar o fechamento das operações aritméticas com números complexos, em 1 680, encontramos ninguêm menos do que Leibniz questionando-se se seria real ou não o resultado de
( a + ib ) + ( a - ib )

Lambert, em 1 750, mostrou que i  ,  i ⁱ ,etc todos tem a forma a + ib.

A principal dificuldade foi entender o logaritmo de números complexos. E se vamos falar do ln z, por que não falar no log de reais negativos ? Com efeito, estendeu-se por muitos anos a polêmica do significado e valor do ln (-1). Nada menos do que Leibniz, Euler e J. Bernoulli entraram na briga.

Bernoulli alegava que, como 1 ² = (-1) ², tomando o log, obtemos 0 = ln(-1). Leibniz dizia que isso não pode ser correto, uma vez que teríamos, de ln(-1) = 0, que -1 = e ⁰ = 1.
O passo decisivo foi dado por Euler que mostrou que o log de um número não nulo tem infinitos valores, os quais são todos imaginários no caso do número ser negativo.

Boa parte dessas discussões envolviam argumentos metafísicos e não podemos dizer que Euler tenha esclarecido definitivamente a questão. Isso só ocorreu em 1 830 com Martin Ohm, o qual deu uma teoria completa para o calculo de a ^b e de ln a ( com a,b complexos ). Suas idéias foram divulgadas e estendidas por Cauchy , o qual elucidou a questão da multivocidade através das noções de ramo principal e ramos secundários de uma função.

exemplo:
como e^{2 i} = 1 , então ln ( e^{2 i} ) = ln ( 1 ) mas é errado disso concluir que 2 i = 0.
Foi só com as idéias de Ohm e Cauchy que aprendemos a fazer o cálculo corretamente.

Talvez possamos dizer que os principais matemáticos responsáveis por essa aceitação foram:

• Lambert e Euler que estudaram o fechamento dos números complexos sob operações algébricas e transcendentes
• Wessel que introduziu ( 1 797 ) a moderna representação geométrica, que foi depois popularizada por Mourey e Gauss c. 1 830.
• Gauss que divulgou e muito usou essa representação e provou que os nmeros complexos sao necessários e suficientes para a Algebra ( Teorema Fundamental da Algebra: todo polinômio de coeficientes reais ou complexos pode ser fatorado em termos lineares, possivelmente complexos )
• Ohm e Cauchy que esclareceram a multivocidade das operações algébricas e transcendentes sobre os complexos

Com isso, a terminologia desconfiada inicial ( n. sofísticos c. 1570, n. imaginários c. 1650 ) acabou cedendo lugar à mais natural denominação atual: números complexos, em c. 1830.

Já no séc. dos 1800’s os n. complexos encontraram grande uso no estudo da Mecânica de Fluídos, da Eletricidade e outros fenômenos em meios contínuos. Hoje, são instrumental absolutamente necessário em inúmeros campos da Ciência e Tecnologia.

• os cálculos atuariais, especialmente os associados aos seguros de vida
• os estudos demográficos e, em especial, os estudos de incidência de doenças infecciosas e o efeito da vacinação ( exemplo de grande repercussão na época sendo o da varíola )
• a construção das loterias nacionais e o estudo dos jogos de azar: carteados, roleta, lotos, etc

Contudo, o que queremos aqui abordar é o surgimento das modernas aplicações da Teoria das Probabilidades, pois são essas que vão demonstrar a enorme importância teórica e prática das idéias probabilistas e estender seu uso a uma enorme gama de profissionais e até mesmo a muitas atividades do cotidiano do viver moderno. Dentre essas modernas aplicações, nos concentraremos em:

•  
  •  
    •  
      • probabilidades na Física
      • probabilidades na Estatística
      • probabilidades na Engenharia

Teoria dos Erros Experimentais

A partir do sec XVIII, o desenvolvimento e barateamento dos instrumentos de medida em muito multiplicou as observações quantitativas em laboratório e em campo. Logo os físicos deixaram-se de se contentar em ter conseguido medir, eles passaram a buscar a melhor medida possível. Em termos mais precisos, queriam a resposta do Problema Fundamental da Teoria dos Erros:

Esse problema foi exaustivamente estudado por Legendre, Laplace e Gauss, no final do sec XVIII e início de sec XX. O resultado mais fundamental foi estabelecido por Gauss, ao provar que se os erros das medidas tem uma distribuição gaussiana ( ou da curva normal ) então o valor mais provável de x é a média das medidas x _k.

Probabilidades na Física Estatística

Até a metade do sec XIX, os físicos viam a Teoria dos Erros como a única utilidade das probabilidades. Para isso era usado o seguinte argumento: é perfeitamente concebível que usemos probabilidades e estatística no estudo de fenômenos biológicos e sociais, afinal as pessoas de uma população tem altura, peso, inteligência diferentes; contudo, não há possibilidade de esse tipo de variações no mundo físico: as propriedades de duas gotas de água ou dois litros de ar são absolutamente as mesmas.

Foi preciso um gênio do calibre de Maxwell para derrubar esse preconceito.
Maxwell implicara com o Princípio de Carnot, que diz que o calor não pode fluir espontâneamente ( = sem gasto de energia ) de um corpo frio para um quente. Usando que a temperatura é um efeito médio das moléculas dos corpos, Maxwell acabou mostrando que era perfeitamente possível que uma inteligência, a qual hoje chamamos de demônio de Maxwell, conseguisse fazer o calor passar de um corpo frio para um quente, sem gasto de energia. Como um segundo estágio de suas idéias, passou a defender que as leis termodinâmicas deveriam ter uma formulação probabilística. Em c. 1860 deu ao mundo a primeira lei física de natureza probabilística: a lei de Maxwell para a distribuição do percentual p de moléculas de um gás em equilíbrio que estão com velocidade ( a rigor: rapidêz ) v. Sendo a e b parâmetros do gás:

p=p(v)=a v ² e ^{- b v 2}

As idéias de Maxwell foram tornadas ao mesmo tempo práticas e mais gerais ( pois que aplicáveis a fenômenos físicos outros que os de calor ) com Josiah Wilard Gibbs, com seu Principles of Statistical Mechanics, 1902, uma das obras mais importantes já escritas em toda a história da Humanidade e que verdadeiramente deu maturidade à abordagem probabilística dos fenômenos físicos.

Probabilidades na Física Quântica

O formalismo da Mecânica Estatística mostrou o quão útil podia ser a Teoria das Probabilidades para estender o poder da Ciência clássica e equipá-la com instrumentos capazes de uma análise muito mais ampla do comportamento da matéria e da energia: o estudo das reações químicas, dos processos termodinâmicos, da radiação eletromagnética, etc.

Contudo, no final do século XIX, começaram a surgir inconsistências nesta vasta paisagem. Por exemplo, o equilíbrio das radiações não podia conviver logicamente com a idéia natural de distribuição contínua dos níveis energéticos. Logo se viu que a evidência experimental levava à uma estrutura discreta dos níveis energéticos. A descoberta do elétron e a concepção atômica de Rutherford apontavam grandes discrepâncias entre a teoria clássica do eletromagnetismo e o calor específico dos metais. A teoria ondulatória da luz tinha sido adotada para se poder explicar os fenómenos de interferência luminosa, mas o efeito fotoelétrico parecia preferir uma interpretação corpuscular. Pior do que isso, para esses mesmos elétrons observou-se fenômenos de interferência, o que sugeria que eles também podiam comportar-se como ondas.

A resolução dessas dificuldades foi iniciada com Max Planck, no início do século XX, e acabou produzindo outra das maiores obras da Humanidade: a Mecânica Quântica. Essa nova disciplina, ao explicar os fenômenos de radiação em termos de probabilidades, destruiu o ponto de vista clássico que pregava que todos os fenômenos eram deterministas. Sob um ponto de vista mais prático, permitiu uma muito fértil aproximação entre o ponto de vista dos físicos e o dos químicos no estudo da matéria, disso resultando uma enorme massa de resultados fundamenatis tanto nso estudos teóricos ( como uma adequada descrição molecular da química, e a interpretação e previsão de fenómenos de radiação em uma enorme faixa de energias ) como na criação de importantes tecnologias ( como a eletrónica e a engenharia nuclear ).

O objetivo inicial da Mecânica Quântica era explicar as interações entre matéria e energia mas acabou tendo o papel de retificar e completar a Física e Química clássicas. No que toca aos fenômenos macroscópicos, passou-se a pensar em termos de efeitos macroscópicos consequência do comportamento de uma enorme quantidade de micro-sistemas cujas leis são probabilistas. Esses micro-sistemas não são totalmente independentes ( por exemplo, os átomos de um sólido obedecem relações espaciais ), mas não podem ser individualizados e os cálculos probabilistícos envolvidos precisam levar isso em conta. Assim que foi necessário um ponto de vista revolucionário para descrever o comportamento dos micro-sistemas: as grandezas observáveis tem natureza verdadeiramente probabilista.

A História registra censos, para fins de alistamento militar e de coleta de impostos, realizados há mais de 4 000 anos, como é o caso do censo do imperador Yao na China, em 2 200AC. Em todo esse tempo, por estatística entendia-se meramente o trabalho de exibição e síntese dos dados referentes colhidos pelo censo. Mais importante do que observar que estava restrita aos censos é notar que era uma mera Estatística Descritiva, a qual não envolvia nenhum trabalho probabilístico, pois todos os objetos do universo envolvido ( a população ) eram observados ou medidos.

A primeira pessoa a atinar em medir/observar apenas uma pequena amostra do universo envolvido e, a partir de análise probabilista, estender os resultados da amostra para o todo do universo ou população foi Adolphe Quételet, c. 1850.
A partir dele, rapidamente surgiu a idéia de dar um embasamento mais rigoroso para o método científico, a partir de uma fundamentação probabilista para as etapas da coleta e a da análise indutiva de dados científicos. Essa concepção, hoje essencial no trabalho científico, só atingiu um nível prático no início do sec XX e desenvolveu-se em três grandes frentes:

A inferência estatística

estuda técnicas que permitem quantificar probabilisticamente as incertezas envolvidas ao induzirmos para um universo observações feitas numa amostra do mesmo. Por exemplo:
uma companhia de aviação deseja saber o tempo médio que seus passageiros gastam ao desembarcarem no aeroporto XYZ. Numa amostra de 320 passageiros, o tempo médio foi de 23 min. Com 95% de chances de certeza, o que poderá a companhia dizer sobre o erro cometido ao afirmar que o tempo médio de desembarque de seus passageiros seu é 23 min, no aeroorto XYZ ?
Os pais da Inferência Estatística são J. Neyman e Karl Pearson, os quais a criaram em varios artigos escritos c. 1930. Embora os estudos de Neyman e Pearson estivessem associados à questões de hereditariedade, os métodos e até as expressoes que criaram, tais como “hipótese nula” e “nível de significância”, fazem hoje parte da rotina diária de todo estatístico e cientista.

O delineamento dos experimentos científicos

trata das precauções que o cientista deve tomar, antes de iniciar suas observações ou medidas, de modo que se possa dar uma boa probabilidade de que os objetivos pretendidos sejam atingidos.
O pai dessas técnicas é R. A. Fisher. Esse, ao trabalhar na seleção genética de plantas agrícolas, desenvolveu imensa quantidade de resultados básicos sobre delineamento de experimentos e os divulgou, com grande sucesso, em dois livros históricos: Statistical Methods for Research Workers, 1925, e The Design of Experiments, publicado em 1935.

A correlação entre variáveis

é o que, em Estatística, corresponde - não perfeitamente, desde já alertamos - à idéia de causação. Suponhamos que um cientista faça, simultâneamente, a medida de duas ou mais variáveis: uma poderia ser a altura e a outra o peso de pessoas de uma população. Se ocorrer que elas tendam a crescer ou decrescer simultaneamente, dizemos que elas sao positivamente correlacionadas; se, por outro lado, a tendência é uma delas crescer e a outra decrescer, dizemos que elas são negativamente correlacionadas. No instante que o estatístico ou cientista possa afirmar que duas ou mais variáveis são correlacionadas, ele pode usar uma série de técnicas ( chamadas análise de regressão ) para achar fórmulas expressando os valores de uma dessas variáveis em termos da outra, ou das outras. Tudo dentro de uma margem de erro que ele poderá estimar probabilisticamente.

O pai da idéia de correlação foi o inglês Francis Galton o qual, no final do século passado a usou numa série de estudos de hereditariedade motivados pela Teoria da Evolução de Darwin e com objetivos decididamente eugênicos.
A base matemática do trabalho de Galton era precária. Coube a Karl Pearson dar uma fundamentação mais matemática para a correlação e introduzir técnicas hoje básicas: coeficiente de correlação, medida da qualidade da regressão via a distribuição probabilista chi-quadrado, etc.

Controle de qualidade da produção industrial

A primeira pessoa a estudar matemáticamente o controle da qualidade foi W. Gosset ( mais conhecido por seu pseudônimo, Student ) quando, no início do séc XX, trabalhava numa fábrica de cerveja. Sucederam-se algumas aplicações de âmbito fechado, restrita ao setor militar ( França: M. Dumas ) e às atividades internas da Western Electric Company.

Contudo, é só em torno de 1930 que surgem os primeiros tratados de cunho prático e destinado a engenheiros: o The Economic Control of the Quality of Manufactured Products ( de W. A. Shewart, da Bell Telephone Co., USA, 1929 ) e o The Application of Statistical Methods in Industrial Standartization and Quality Control ( de Egon. S. Pearson, Inglaterra, 1935). Por essa mesma época, surgem as primeiras comissões tratando da uniformização das normas do controle estatístico da qualidade: o Joint Committe for the Development of Statistical Applications in Engineering and Manufacturing, americano, e a Section of Industrial and Agriculture Researches, na Royal Statistical Society of London.

Apesar desses pioneiros, a real difusão dos métodos estatísticos na engenharia só iniciou durante a Segunda Guerra. Entre 1941 e 1942 os americanos e os inglêses desenvolveram um grande programa, procurando disseminar a prática do controle de qualidade estatístico na produção militar. Vários manuais foram escritos e divulgados amplamente. Especialmente decisiva foi a adoção desses manuais pelas universidades americanas que faziam parte do Engineering and Science War Training Program. Terminada a guerra, rapidamente tornou-se norma a inclusão de cursos de Probabilidades e Estatística em todos os cursos de engenharia americanos, inglêses e, logo, de outros países.

Aplicações mais recentes das probabilidades na Engenharia

são cada vez mais variadas e importantes, citaremos rapidamente apenas três:

• Teoria das Filas:
  Busca calcular a quantidade de recursos e a maneira de disponibilizá-los para que uma fila de solicitação de serviços seja atendida, com investimento mínimo de recursos e tempo mínimo de espera por parte dos clientes da fila. Exemplos de problemas de filas sendo: determinar o número de caixas num super-mercado, determinar o número de pistas num aeroporto, determinar a quantidade de equipamento telefônico necessário para atender uma área geográfica, determinar a quantidade de mecânicos e boxes para atender os serviços de uma grande concessionária de automóveis, tudo isso a partir de projeções probabilistas da demanda.
  A origem da Teoria das Filas ocorreu em Telefonia.
• Teoria da Informação
  Partindo de considerações probabilistas, essa teoria desenvolveu uma medida da quantidade de informação em mensagens. Usando essa medida, a teoria estuda maneiras de codificar, transmitir e decodificar as mensagens que são transmitidas pelos sistemas de comunicação: TV, radio, telefonia, satélites, etc. Os principais obstáculos a vencer são a existência de ruídos aleatórios, produzidos pelas componentes dos sistemas de comunicação e por interferências, e a existência de uma capacidade limite de todo canal de comunicação. As bases dessa teoria foram estabelecidas por Claude Shannon c. 1950.
• Teoria do Risco
  Trata de problemas envolvendo decisões alternativas e cujas consequências só podem ser avaliadas probabilísticamente. Uma situação importante sendo o estudo das panes em sistemas de engenharia complexos, como redes de distribuição de energia elétrica, redes telefônicas, redes de computadores, etc. Tipicamente, deseja-se maximizar a duração do funcionamento normal do sistema a um custo mínimo de investimento em equipamento.

“A Humanidade precisou de centenas de anos para se acostumar com um mundo onde alguns eventos não tinham causa… ou eram determinados por causas tão remotas que somente podiam ser razoavelmente representados por modelos não-casuais.”

Tendo isso em vista, fica mais fácil percebermos porque a abordagem matemática do acaso, do azar e do risco só iniciou há pouco mais de 500 anos. A disciplina que assim foi construída, a Teoria das Probabilidades, nasceu , mais precisamente falando, das tentativas de quantificação dos riscos dos seguros e de avaliar as chances de se ganhar em jogos de azar.

1.- OS SEGUROS

Surgimento dos seguros

Ocorreu há mais de 5 000 anos entre os comerciantes marítimos mesopotâmicos e fenícios, aplicados à perda de carga de navios ( naufrágio ou roubo ). A prática foi continuada pelos gregos e romanos e acabou chegando no Mundo Cristão Medieval através dos comerciantes marítimos italianos. Muito pouco chegou até nós acerca das técnicas empregadas pelos seguradores daqueles tempos, mas é garantido afirmar que baseavam-se em estimavas empíricas das probabilidades de acidentes para estipularem as taxas e prêmios correspondentes.

O início da matematização dos seguros

Com o término da Idade Média, o crescimento dos centros urbanos levou à popularização de um novo tipo de seguro: o seguro de vida. É em torno desses que surgirão os primeiros estudos matemáticos sobre seguros, nos 1 500 ‘ s. Nao deixa de ser curioso observar que, nessa época, houve um enorme aumento nos negócios de seguros marítimos ( associados aos preciosos carregamentos trazidos das Américas e das Indias ) mas os seguradores continuaram a usar as milenares técnicas empíricas.

A mais antiga tentativa de um estudo matemático dos seguros de vida é devida a Cardano, em 1 570 ( em seu De proportionibus Libri V ) . Seu trabalho, contudo, teve mínima repercussão, provavelmente por ter pouca praticidade.

o amadurecimento da matemática dos seguros

O primeiro trabalho prático na área dos seguros de vida é devido a Halley ( o mesmo do cometa ) em 1693 ( Degrees of Mortality of Mankind ). Nesse trabalho, Halley mostrou como calcular o valor da anuidade do seguro em termos da expectativa de vida da pessoa e da probabilidade de que ela sobreviva por um ou mais anos.

Com Daniel Bernoulli, c. 1 730, a matemática dos seguros atinge um estado bastante maduro. Ele retoma o clássico problema de, a partir de um número dado de recem nascidos, calcular o número esperado de sobreviventes após n anos. Ele também dá os primeiros passos em direção a novos tipos de seguros calculando, por exemplo, a mortalidade causada pela varíola em pessoas de idade dada. Ao mesmo tempo, começaram a aparecer as primeiras grandes companhias de seguros as quais tiveram, assim, condições de se estabelecer com um embasamento científico.

De lá para cá, os negócios de seguros ampliaram-se e sofistificaram-se cada vez mais a ponto de, em alguns países europeus, tornarem-se um mercado de trabalho que absorve quase um quarto dos egressos de cursos de Matemática.

2.- OS JOGOS DE AZAR

Surgimento dos jogos de azar

Os jogos de azar são, provavelmente, tão velhos quanto a Humanidade: temos provas arqueológicas da prática do jogo do osso há 40 000 anos. Ademais, jogava-se e joga-se praticamente pelo mundo inteiro, sendo raras as sociedades que não o faziam ( polinésios, siberianos, e algumas outras ).
Historicamente, os jogos mais praticados foram o do osso ( conhecido pelo mundo inteiro ) e o de dados ( surgiu na India e Mesopotamia c. 3 000 AC, como evolução do jogo do osso, e daí se difundiu para o mundo grego, romano e cristão ).
É também importante lembrar que antigamente jogava-se em apostas bem como para prever o futuro, decidir disputas, dividir heranças, etc.

As mais antigas matematizações de jogos de azar

Resumem-se na mera enumeração das possibilidades de se obter um dado resultado no jogo, não havendo preocupação probabilista explícita.
Curiosamente, o mais antigo desses registros ocorre num contexto nada profano: c. 950 dC um bispo belga, Wibold, inventou um jogo religioso que, a cada um dos 56 possíveis resultados do lance de 3 dados, atribuia uma penitência ou a prática de uma virtude correspondente.
Em várias obras literárias medievais ( inclusive na Divina Comédia de Dante ) encontramos enumeração das possibilidades de se obter o resultado 2, 3,…,12 ao jogar dois dados, idem de se obter 3,4,…,18 ao jogar três dados, etc.

Os primeiros cálculos de probabilídades em jogos de azar

Pacioli c. 1 500
em sua famosa Summa, estudou um problema que se tornou famoso como Problema dos Pontos:

Dois jogadores disputavam um prêmio que seria dado a quem primeiro fizesse 6 pontos no jogo da balla. Quando o primeiro jogador tinha 5 pontos e o segundo tinha 3 pontos, foi preciso interromper o jogo. Como dividir o prêmio ?

Sua solução, corretamente, faz uma divisão proporcional à probabilidade de vitória de cada jogador. Assim foi introduzida, de modo bastante intuitivo, a noção de esperança matemática, ou seja o produto do ganho eventual pela probabilidade desse ganho.

Cardano 1 526
escreveu um pequeno Manual de Jogos de Azar ( Liber de Ludo Aleae ) onde resolveu vários problemas de enumeração e retomou os problemas abordados por Pacioli.

Tartaglia 1 556
Resume-se a dedicar algumas páginas de seu livro General Trattato aos problemas de Pacioli.

Galileo c. 1 590
é autor de outro manual sobre jogos, o Considerações sobre o Jogo de Dados. Nos parece ter sido aí a primeira vez que se faz uma comparação explícita de frequências de ocorrência. Nesse livrinho, entre outras coisas, Galileo explica a um amigo porque , embora sejam 6 as somas que permitem fazermos 9 pontos ao jogarmos 3 dados e tambem 6 as que fazem 10 pontos, a experiência mostra que o 10 é mais comum de ocorrer do que o 9.

O amadurecimento das técnicas combinatórias em probabilidades

Até então as técnicas de enumeração das possibilidades favoráveis num evento aleatório eram simplórias e restritas a casos numéricos. Para que se pudesse tratar de problemas envolvendo muitas possibilidades ou eventos de natureza genérica, precisava-se técnicas mais apuradas do que as que empregaram Cardano e Tartaglia. A principal deficiência técnica desses italianos era a precariedade de sua notação, a qual não tinha como tratar de casos genéricos. Essa capacidade só foi atingida com o Cálculo Literal ( Logística Speciosa ) de François Viète c. 1 600 e com a álgebra desenvolvida por Descartes em sua La Géometrie c. 1630. Consequentemente, não deve vir como surpresa que é só na metade do século dos 1600’s que aparecem as condições para a abordagem de problemas gerais de probabilidades. Isso coube a dois outros franceses: Fermat e Pascal.

Em 1 654, um famoso jogador profissional, Antoine Gombauld, pomposamente autodenomidado o Cavaleiro de Méré, escreveu uma carta ao famoso matemático francês Blaise Pascal, propondo-lhe resolver alguns problemas matemáticos que tinha encontrado em suas lides com jogos de azar.

Entre os problemas propostos por de Méré estava o seguinte:

Jogando com um par de dados honestos, quantos lances são necessários para que tenhamos uma chance favorável ( ou seja, de mais de 50% ) de obtermos um duplo-seis, ao menos uma vez?

O interesse de de Méré no problema residia no fato de que sua “solução” para o mesmo não funcionava na prática, produzindo-lhe constantes prejuízos.
Com efeito, ele não conseguia ver o que estava errado em seu raciocínio:

” Quando jogamos apenas um dado, temos chance 1/6 de obter um seis, e como 3 x 1/6 = 50% e 4 x 1/6 = 67%, vemos que precisamos jogá-lo 4 vezes para ter chance maior do que 50% de obtermos, ao menos uma vez, um seis. Ora, quando jogamos um par de dados temos 36 possibilidades, ou seja 6 vezes mais possibilidades de quando jogamos um único dado, consequentemente, precisaremos jogar o par de dados 6 x 4 = 24 vezes para ter chance maior do que 50% de obtermos, ao menos uma vez, um duplo seis”.

Pascal percebeu o erro de de Méré e se dispôs a achar a solução correta. Trocando idéias com o grande matemático Fermat, logo se convenceram que a resolução teria de passar pela enumeração combinatorial das possibilidades de ocorrência do duplo-seis. Procurando uma maneira inteligente de fazer essa trabalhosa enumeração, acabaram dando plena maturidade às técnicas introduzidas por Cardano e Tartaglia:

• Fermat redescobriu e aperfeiçou a técnica de Cardano, baseando o cálculo de probabilidades no cálculo combinatório, bem ao estilo que hoje empregamos rotineiramente.
• Pascal seguiu um caminho menos importante, redescobriu e aperfeiçou a técnica de Tartaglia que baseava-se no uso do que hoje, no Brasil e vários outros lugares, chama-se de triângulo aritmético de Pascal ( na Itália, o triângulo aritmético é chamado de triângulo de Tartaglia, mas a verdade é que o triângulo aritmético já era conhecido há séculos pelos indianos, chineses e pelos islamitas )

Dessa maneira, conseguiram mostrar, cada um à sua maneira, que:

• em 24 lances de um par de dados, a probabilidade de ocorrer, ao menos uma vez, um duplo-seis é de 49.1%
  ( sendo então, ao contrário do que achava de Méré, “desfavorável” ao jogador )
• em 25 lances de um par de dados, a probabilidade de ocorrer, ao menos uma vez, um duplo-seis é de 50.6%
  ( sendo, agora, “favorável” ao jogador )

EXERCICIO :
O astrágalo, o osso do “jogo do osso”, pode cair sobre quatro de suas faces. Antigamente, essas recebiam os valores 4 e 3 para as faces maiores, e 1 e 6 para as duas menores. Experimentos deram as seguintes probabilidades de ocorrência desses lados: P(4)=0.39, P(3)=0.37 e P(1)=P(6)=0.12 .
Antigamente, um uso comum do jogo do osso era na previsão do futuro, para o que jogava-se cinco ossos de cada vez. Um exemplo sendo a seguinte adivinhação grega, chamada “o lance do Zeus salvador”:
Foram um 1, dois 3 e dois 4 … Os deuses te deram um augúrio favorável. Não tire-o da cabeça, pois nenhum mal cairá sobre ti.
Pede-se mostrar que a probabilidade de ocorrer esse augúrio favorável é:

( 5! / 2! 2! ) (0.12) (0.37)²(0.39)² = 0.075

EXERCICIO :
Relativamente ao “jogo religioso” do Bispo Wibold, mostre que ao jogarmos 3 dados são 56 os possíveis resultados. Faça isso:

• usando enumeração direta, como se fazia antes de Pascal e Fermat
• usando o método de Fermat, mostrando que temos C(6,1) + 5 C(6,1) + C(6,3) resultados

EXERCICIO :
No que toca ao problema di duplo-seis proposto pelo jogador de Méré:

• Pede-se explicar o que está certo e o que está errado na “solução” que ele enviou a Pascal
• Conforme já vimos, para resolver o problema de de Méré, Fermat e Pascal fizeram a enumeração combinatorial das possibilidades de ocorrência do duplo-seis. Esse é um caminho trabalhoso. Mostre, contudo, que é muito fácil resolver o problema se calcularmos a probabilidade de ocorrer o evento distinto do desejado por Mére.
  Resposta: o número correto de vezes que temos de lançar o par de dados é 25; com efeito: 1 - (35/36) ²⁵ = 51%, enquanto que em 24 lances, como queria fazer de Mére, temos: 1 - (35/36) ²⁴ = 49%.
• A perplexidade de de Mére devia-se ao fato que não perdia em apostas de quatro lances de um um único dado, mas perdia nas de vinte e quatro lances de dois dados, e isso que o raciocínio que usou para analisar as apostas com dois dados foi semelhante a do caso de se jogar um único dado.
  Mostre que, mesmo no caso de apostas com um único dado, seu raciocínio está errado mas a verdadeira probabilidade de tirar ao menos um seis ao jogar quatro vezes o dado é maior do que 50%. Ou seja, neste caso, ele ganhava apesar de seu cálculo estar errado.

EXERCICIO :
Liste todos os livros sobre probabilidades, citados acima e que foram publicados antes de Fermat e Pascal.

3.- O AMADURECIMENTO DOS ESTUDOS DE PROBABILIDADES

A Teoria Clássica das Probabilidades

Procurando aprofundar a abordagem combinatória de Fermat, Jakob Bernoulli acabou iniciando o processo de abstração das probabilidades ( livrando-as das limitações dos seguros e jogos ) e foi além da mera resolução de problemas concretos, produzindo os primeiros teoremas sobre o assunto ( como a Lei dos Grandes Números ).

Os resultados de Bernoulli foram publicados em seu livro Ars Conjectandi de 1 713, o qual foi seguido do Doctrine of Chance de de Moivre ( 1 716 ) e do Laws of Chance de Simpson ( 1 740 ). Finalmente, em 1 812, Laplace publicou seu tratado Théorie Analytique des Probabilités que foi o maior marco dessa etapa clássica da Teoria das Probabilidades.
A partir daí, os estudos clássicos de probabilidades aceleraram-se e continuaram ao longo do século passado e início desse por grandes matemáticos, como Gauss, Poisson, Poincaré, Markov, Borel, etc.

A Teoria Moderna das Probabilidades

Em 1 933, Andrei Kolmogorov iniciou a etapa moderna da Teoria das Probabilidades ao apresentar uma axiomatização rigorosa e abstrata, baseada na Teoria dos Conjuntos e reduzindo a Teoria das Probabilidades à Teoria da Integração .

4.- PARA SABER MAIS SOBRE A HISTORIA DA PROBABILIDADES

1. I. Hacking - The Emergence of Probability. Cambridge U. Press, London, 1975.
2. O. B. Sheyin - On the prehistory of the Theory of Probabilities, Archiv. Hist. Exact Sciences 12:2 ( 1974 ) 97-141
3. F. N. David - Games, Gods and Gambling. Hafner Pub, NY, 1962

Erathostenes e a medida da Terra, c. 250 AC

As abordagens usuais desse tema, além de terem vários erros históricos e demonstrações de ignorância de princípios básicos de Geografia e Astronomia, pecam por apresentarem o tema como mero entretenimento, sem atinar que:

• o problema da determinação do tamanho da Terra e de sua distância à Lua e ao Sol foi o primeiro a mostrar inequívocamente que a aplicação da Matemática ao mundo real passa pela disponibilidade de instrumentos precisos
• o trabalho de Erathostenes foi um dos primeiros de uma série que durou mais de dois mil anos, sendo que a tarefa da medida da Terra chegou a ser, no século XVIII, o maior projeto científico que a Humanidade se envolvera até então
• ao longo de boa parte desses dois mil anos, a motivação dos cientistas e matemáticos que trabalharam no problema era puramente intelectual: não tinham em vista nenhuma aplicação econômica ou militar
• a técnica que usaram Erathostenes e outros gregos envolvia o cálculo de uma circunferência de círculo sem a utilização do respectivo raio ou diâmetro.

O leitor também precisa ser alertado que o livro onde Erathostenes descreve sua medida da Terra, o Geographiká, foi perdido (chegaram até nós apenas escassos fragmentos dos três volumes do mesmo ). Nossa fonte mais antiga e segura de informações sobre esse trabalho é o livro De motu circulari de Kleomedes, que viveu cerca de 200 anos depois. Assim, é fácil ver que existem vários pontos polêmicos na reconstrução da medida de Erathostenes, um dos quais é a crucial determinação do valor da unidade de comprimento ( o estádio ) por ele usada.

.

• Os gregos expressavam o tamanho da Terra dando o valor da circunferência dos meridianos terrestres e não em termos do raio ou diâmetro da Terra. A razão era simples: podemos calcular a circunferência usando raciocínio de proporções (detalhes adiante ), enquanto que a determinação do raio ou diâmetro, a partir da circunferência, envolve o conhecimento do valor numérico de PI, com várias casas decimais.
• É só com Hipparchos c. 200AC que os gregos adotam a tradição mesopotâmica de expressar a medida dos ângulos em termos de graus, minutos e segundos, como costumamos hoje fazer. Erathostenes, e os gregos mais antigos que ele, expressava a medida dos ângulos em termos de 1 / 60 do giro completo.
  Já as medidas de comprimento eram expressas em termos de estádios ( stadion, em grego ). Infelizmente, na época não havia grande preocupação com padronizações, de modo que o estádio variava de cidade para cidade. No que segue, usaremos o estádio usado por Erathostenes. Esse, segundo conta Plinius em sua Historia Natural, tomava o estádio como sendo 1 / 40 do schoinos egípcio, e como sabemos que um schoinos dava 12 000 covados reais egípcios e que nos atuais museus podemos ver que esse covado equivale a 0.525 metros, segue que o estádio de Erathostenes valia 157.5 metros. Nem todos especialistas aceitam esse valor.
• se os gregos tivessem nossa capacidade de medida atual, eles dariam o valor da circunferência dos meridianos terrestres como sendo C = 253 600 estádios
• Os gregos usualmente mediam ângulos através do comprimento da sombra produzida por uma vareta ( chamada gnomon, ou indicador ) cravada verticalmente no chão. Como isso dava resultados pouco exatos, o matemático Aristarchos c. 280 AC inventou um outro instrumento, chamado skaphe, que mais tarde foi usado por seu aluno Erathostenes, confrome descreveremos abaixo.
  Já a medida da distância entre cidades ( a rigor, do comprimento do arco de círculo unindo as duas cidades ) usualmente era feita grosseiramente, a partir do tempo que gastava uma caravana de comerciantes para ir de uma à outra cidade. Contudo, Erathostenes pode usar medidas mais exatas: as obtidas pelos bematistai, que eram funcionários públicos criados por Alexandre Magno e cuja função era medir em passadas a distância entre as principais cidades do mundo grego.

• achar outra cidade no meridiano de Aswan
  ( os mapas da época mostravam que uma tal cidade era Alexandria )
• medir o ângulo S da sombra projetada por um obelisco ( ou coluna ) em Alexandria e ao meio-dia do solstício de verão
• medir a distância entre Aswan e Alexandria

Acompanhe o raciocínio na figura abaixo:
o paralelismo dos raios solares dá S = A e também A = B , disso segue que B = S

Ora, usando uma skaphe, Erathostenes verificou que o ângulo S da sombra era 1/ 25 da skaphe. Essa skaphe tinha a forma de metade de uma esfera, de modo que concluiu facilmente que:

S = 1 / 25 da skaphe = 1 / 50 do giro completo

consequentemente, o arco de meridiano entre Aswan e Alexandria ( ou seja: a distância entre essas cidades ) é 1 / 50 da circunferência do meridiano. Mas essa distância era sabida ser 5 000 estádios, de modo que

a circunferência do meridiano terrestre vale C = 50 x 5 000 = 250 000 estádios.

.

 
• Erros de Erathostenes:
  

  1. a distância entre Alexandria e Aswan é de 4 628 estádios e não 5 000 estádios
  2. se olharmos qualquer mapa moderno, veremos que flagrantemente essas duas cidades NAO estão num mesmo meridiano; elas diferem em mais de 3 graus de longitude
  3. traduzindo em graus a medida de Erathostenes para o ângulo entre os raios por Alexandria e Aswan, obtemos:

     S = 1 / 50 de 360 graus = 360 / 50 graus = 7 graus 12 min.

     Contudo, medidas modernas dão o valor S = 7 graus e 5 min.

   

• Simplificações de Erathostenes:

  Como também ainda hoje costumamos fazer, no lugar da circunferência do meridiano, Erathostenes preferia trabalhar com o comprimento de um grau de meridiano, ou seja: com a 360a parte do meridiano. Isso daria um grau = 250 000 / 360 = 694.4 estádios, mas ele - talvez plenamente ciente da imperfeição de suas medidas - preferiu usar o muito mais cómodo um grau = 700 estádios

• acha-se duas cidades, A e B, que estejam num mesmo meridiano
  ( EXEMPLO: os gregos sabiam que Alexandria e Aswan ( na época era chamada Syena ) estavam num mesmo meridiano )
• mede-se a distância s entre A e B
  ( a rigor, mede-se o comprimento do arco terrestre que vai de A para B )
• escolhe-se uma estrela X, visível desde A e B, e mede-se a altura de X em A e a altura de X em B; a seguir, acha-se o ângulo Ø que representa, em graus, a diferença entre essas duas alturas
• finalmente, usando a proporcionalidade entre comprimento de arco e medida do ângulo correspondente, temos que C / s = 360 / Ø e daí resta obter o valor da circunferência C da Terra.

Exercício ( de Dennis P. Donovan ):
Os alunos de duas escolas trocsm informações ( por exemplo, por e-mail ) e implementam a seguinte variante da técnica de Erathostenes:

• Os alunos de uma escola contactam uma outra escola que diste no mínimo algumas centenas de Km e que esteja no mesmo meridiano de sua cidade
• os alunos de cada escola cravam verticalmente uma vareta no chão e, num mesmo instante de um dia ensolarado e combinado de antemão, medem o ângulo das respectivas sombras
• usando essas medidas e mais a distância entre as escolas ( obtida, por exemplo, via mapa) eles calculam a circunferência do meridiano.
• os alunos das duas escolas comparam seus resultados

• circunferência polar = circunferência do meridiano = 39 942 Km
  diâmetro polar = 12 714 Km
• circunferência equatorial = 40 074 Km
  diâmetro equatorial = 12 756 Km

Em trabalhos científicos mais precisos, bem como em algumas aplicações como lançamento de mísseis intercontinentais e satélites, toma-se como modelo da figura Terra um esferóide ( = elipsóide de revolução ) achatado cujos parâmetros ( valor dos semi-eixos, etc ) são periodicamente melhorados pela International Union of Geodesy and Geophysics.
Em trabalhos ainda mais delicados, e que tem de levar em conta a influência da gravidade terrestre e lunar ( efeito no nível dos oceanos! ), usa-se um modelo ainda mais sofistificado: o geóide.